1) Thay m=1 vào phương trình, ta được:

\(x^2-2x+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x-1=0\)

hay x=1

Vậy: Khi m=1 thì phương trình có nghiệm duy nhất là x=1

1) Bạn tự làm

2) Ta có: \(\Delta'=\left(m-1\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\) Phương trình luôn có 2 nghiệm

Theo Vi-ét, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=2m-1\end{matrix}\right.\) 

a) Ta có: \(x_1+x_2=-1\) \(\Rightarrow2m=-1\) \(\Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{2}\)

   Vậy ...

b) Ta có: \(x_1^2+x_2^2=13\) \(\Rightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=13\)

            \(\Rightarrow4m^2-4m-11=0\) \(\Leftrightarrow m=\dfrac{1\pm\sqrt{13}}{2}\)

  Vậy ... 

2) Ta có: \(\text{Δ}=\left(-2m\right)^2-4\cdot1\cdot\left(2m-1\right)=4m^2-8m+4=\left(2m-2\right)^2\ge0\forall m\)

Do đó, phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Áp dụng hệ thức Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-2m}{1}=-2m\\x_1\cdot x_2=\dfrac{2m-1}{1}=2m-1\end{matrix}\right.\)

a) Ta có: \(x_1+x_2=-1\)

\(\Leftrightarrow-2m=-1\)

hay \(m=\dfrac{1}{2}\)

b) Ta có: \(x_1^2+x_2^2=13\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=13\)

\(\Leftrightarrow\left(-2m\right)^2-2\cdot\left(2m-1\right)=13\)

\(\Leftrightarrow4m^2-4m+2-13=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-4m+1-12=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)^2=12\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2m-1=2\sqrt{3}\\2m-1=-2\sqrt{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2m=2\sqrt{3}+1\\2m=-2\sqrt{3}+1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{2\sqrt{3}+1}{2}\\m=\dfrac{-2\sqrt{3}+1}{2}\end{matrix}\right.\)

Lời giải:

$\Delta'=4+m^2+1=5+m^2>0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$ nên pt luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi $m\in\mathbb{R}$

Áp dụng định lý Viet: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-4\\ x_1x_2=-(m^2+1)\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

\(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{-5}{2}\Leftrightarrow \frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=-\frac{5}{2}\)

\(\Leftrightarrow \frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{-5}{2}\Leftrightarrow \frac{(x_1+x_2)^2}{x_1x_2}=-\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow \frac{16}{-(m^2+1)}=\frac{-1}{2}\Leftrightarrow m^2+1=32\)

\(\Rightarrow m=\pm \sqrt{31}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+1\ne0\\\Delta'=m^2-\left(m+1\right)\left(m+6\right)>0\\x_1+x_2=\dfrac{2m}{m+1}>0\\x_1x_2=\dfrac{m+6}{m+1}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\-7m-6>0\\\dfrac{2m}{m+1}>0\\\dfrac{m+6}{m+1}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< -\dfrac{6}{7}\\\left[{}\begin{matrix}m>0\\m< -1\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}m>-1\\m< -6\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m< -6\)

Ptr có `2` nghiệm `<=>\Delta' >= 0`

    `<=>[-(m-1)]^2-(m+1) >= 0`

    `<=>m^2-2m+1-m-1 >= 0`

     `<=>m(m-3) >= 0<=>[(m <= 0),(m >= 3):}`

`=>` Áp dụng Viét có: `{(x_1+x_2=[-b]/a=2m-2),(x_1.x_2=c/a=m+1):}`

Ta có: `[x_1]/[x_2]+[x_2]/[x_1]=4`

`<=>[x_1 ^2+x_2 ^2]/[x_1.x_2]=4`

`<=>[(x_1+x_2)^2-2x_1.x_2]/[x_1.x_2]=4`

`<=>[(2m-2)^2-2(m+1)]/[m+1]=4`        `(m ne -1)`

  `=>4m^2-8m+4-2m-2=4m-4`

`<=>4m^2-14m+8=0`

`<=>m=[7+-\sqrt{17}]/4` (ko t/m)

  `=>` Ko có giá trị `m` t/m

\(ac=-1< 0\Rightarrow\) pt luôn có 2 nghiệm pb trái dấu với mọi m

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=-1\end{matrix}\right.\)

a.

\(x_1^2+x_2^2-x_1x_2=7\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2=7\)

\(\Leftrightarrow4m^2+3=7\)

\(\Rightarrow m^2=1\Rightarrow m=\pm1\)

b.

\(x_1-x_2=0\Rightarrow x_1=x_2\Rightarrow x_1x_2=x_2^2\ge0\) (vô lý do \(x_1x_2=-1< 0\) với mọi m)

Vậy ko tồn tại m thỏa mãn yêu cầu

Δ=(2m)^2-4(m-1)

=4m^2-4m+4

=4m^2-4m+1+3=(2m-1)^2+3>0

=>Phương trình có hai nghiệm pb

x1<1<x2

=>x2-1>0 và x1-1<0

=>(x1-1)(x2-1)<0

=>x1x2-(x1+x2)+1<0

=>m-1-2m+1<0

=>-m<0

=>m>0

Bạn nên viết lại đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ góc trái khung soạn thảo) để mọi người hiểu đề của bạn hơn nhé.

\(x^2-2mx+m^2-m-1=0\)(1)

có \(\Delta=\left(-2m\right)^2-4.\left(m^2-m-1\right)=4m^2-4m^2+4m+4\)

=\(4m+4\)

để pt (1) có nghiệm x1,x2 khi \(\Delta\ge0< =>4m+4\ge0< =>m\ge-1\)

theo hệ vi ét ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x1+x2=2m\\x1.x2=m^2-m-1\end{matrix}\right.\)

có \(x1\left(x1+2\right)+x2\left(x2+2\right)=10< =>x1^2+2x1+x2^2+2x2=10\)

<=>\(\left(x1^2+x2^2\right)+2.\left(x1+x2\right)=10< =>\left[\left(x1+x2\right)^2-2x1x2\right]+2.2m=10\)

<=>\(\left(2m\right)^2-2.\left(m^2-m-1\right)+4m=10< =>4m^2-2m^2+2m+2+4m-10=0\)

<=>\(2m^2+6m-8=0\)

\(\Delta1=6^2-4\left(-8\right).2=100>0\)

=>m1=\(\dfrac{-6+\sqrt{100}}{2.2}=1\left(TM\right)\)

m2=\(\dfrac{-6-\sqrt{100}}{2.2}=-4\)(loại)

vậy m=1 thì pt (1) có nghiệm x1, x2 thỏa mãn  x1(x1+2)+x2(x2+2)=10